Algèbre grecque, chez Diophante
a) Biographie
Mathématicien grec, surnommé « le père de l’algèbre », on ne connait que peu de choses de sa vie. On pense qu’il a vécu au IIIe siècle après J.-C.
Deux ouvrages nous sont parvenus sous le nom d’auteur de Diophante d’Alexandrie : un ensemble de problèmes résolus, intitulé « Les Arithmétiques » et un court traité, plus théorique, sur les nombres polygonaux.
Le premier cité consiste en une collection de 300 problèmes, en général des équations dont Diophante cherche les solutions positives fractionnaires.
Diophante s’inspire des connaissances babyloniennes et égyptiennes pour rédiger son ouvrage que l’on peut considérer comme le premier exposé méthodologique d’algèbre.
b) Explication du traité « les Arithmétiques »
Il comporte treize livres, dont seulement six ont été conservés. C’est un ouvrage qui se rattache davantage au courant de la logistique[1] plutôt qu’à celui de l’arithmétique théorique.
Cependant, comme les problèmes traités ne comportent que des données et des solutions en nombres rationnels positifs, il s’appuie souvent sur les propriétés spécifiques des nombres entiers.
Ce traité est écrit de manière très rhétorique mais on trouve quelques passages où il utilise des abréviations en remplaçant les mots les plus fréquents. On se trouve ainsi entre l’algèbre rhétorique et l’algèbre symbolique : ce stade porte le nom d’algèbre syncopée.
Le but de Diophante dans cet ouvrage est d’ : « édifier une théorie mathématique dont les éléments constitutifs seraient les nombres, considérés comme pluralités d'unités, et les parties fractionnaires comme fractions de grandeurs. »[2]
Son œuvre, est constituée principalement de problèmes du premier et second degré (résolus pour la plupart) conduisant à des équations dont les solutions sont entières ou fractionnaires.
L’inconnue est définie comme « multiplicité indéterminée d’unités », des valeurs rationnelles positives. Cette inconnue est appelée nombre ou arithme. Les autres nombres (différents des coefficients des inconnues) sont appelés unités et notés M°. Un signe de soustraction apparaît, alors que l’addition s’exprime en une juxtaposition de symboles. Pour remplacer la barre de fraction, il utilise le terme « partie de » entre deux expressions algébriques.
Voici quelques symboles retrouvés dans son ouvrage
x² ∆t
x3 Kt
x4 ∆t∆
x5 ∆K t
x6 KtK
La soustraction est notée ω.
Diophante emploie le système de numération des Grecs.
Aujourd’hui, on parle beaucoup d’équation diophantienne. Que signifie réellement cette notion ?
Equation diophantienne
Pour comprendre cette notion, partons d’un problème :
Un boulanger vend deux types de pain, celui à 12 pièces et celui à 17 pièces. Un soir, le boulanger constate qu’il a 285 pièces dans sa caisse, mais ne se souvient plus du nombre de pièces de chaque type qu’il a vendues. Est-il possible de lui dire ?
Si on considère x le nombre de pains du premier type et y le nombre de pain du deuxième type, on est en présence de l’équation :
On remarque immédiatement que x et y doivent être des nombres entiers positifs (naturels) sinon, cela n’aurait pas de sens.
Ce type de problème, d’équation est nouveau par rapport à ce qu’on peut retrouver chez les Babyloniens ou les Egyptiens. En effet, Diophante se demande si ce type d’équation admet une solution dans et si elle est unique[3].
L’équation générale correspondant à ce type de problème est
(avec a, b, c, x et y )[4]
Supposons que a = 12, b = 18 et c = 194. On constate très vite que l’équation est impossible car 12 et 18 sont tous deux multiples de 6 et 194 ne l’est pas.
Intuitivement, on établit une règle : si c n’est pas divisible par le plus grand commun diviseur de a et b alors il n’y a pas de solution entière.
Retour au problème de départ : on constate que l’équation admet une solution dans ²+ car pgcd(12,17) divise 285. La solution ici est le couple (11, 9).
Par conséquent, nous dirons que l’équation admet une solution dans si et seulement si c = k×pgcd(a, b) (avec k )
[1] Sous-entendu ensemble de méthodes permettant d’arriver au résultat.
[2] Tiré de l’article « Organisation et nature des “Arithmétiques“ », RASHED Roshdi © Encyclopædia Universalis 2006, tous droits réservés
[3] Dans l’ensemble des réels, ce type d’équation admet une infinité de solution.
[4] Il évident que Diophante ne prenait que les nombres positifs. Nous étendons cette notion aux entiers.
Mathématicien grec, surnommé « le père de l’algèbre », on ne connait que peu de choses de sa vie. On pense qu’il a vécu au IIIe siècle après J.-C.
Deux ouvrages nous sont parvenus sous le nom d’auteur de Diophante d’Alexandrie : un ensemble de problèmes résolus, intitulé « Les Arithmétiques » et un court traité, plus théorique, sur les nombres polygonaux.
Le premier cité consiste en une collection de 300 problèmes, en général des équations dont Diophante cherche les solutions positives fractionnaires.
Diophante s’inspire des connaissances babyloniennes et égyptiennes pour rédiger son ouvrage que l’on peut considérer comme le premier exposé méthodologique d’algèbre.
b) Explication du traité « les Arithmétiques »
Il comporte treize livres, dont seulement six ont été conservés. C’est un ouvrage qui se rattache davantage au courant de la logistique[1] plutôt qu’à celui de l’arithmétique théorique.
Cependant, comme les problèmes traités ne comportent que des données et des solutions en nombres rationnels positifs, il s’appuie souvent sur les propriétés spécifiques des nombres entiers.
Ce traité est écrit de manière très rhétorique mais on trouve quelques passages où il utilise des abréviations en remplaçant les mots les plus fréquents. On se trouve ainsi entre l’algèbre rhétorique et l’algèbre symbolique : ce stade porte le nom d’algèbre syncopée.
Le but de Diophante dans cet ouvrage est d’ : « édifier une théorie mathématique dont les éléments constitutifs seraient les nombres, considérés comme pluralités d'unités, et les parties fractionnaires comme fractions de grandeurs. »[2]
Son œuvre, est constituée principalement de problèmes du premier et second degré (résolus pour la plupart) conduisant à des équations dont les solutions sont entières ou fractionnaires.
L’inconnue est définie comme « multiplicité indéterminée d’unités », des valeurs rationnelles positives. Cette inconnue est appelée nombre ou arithme. Les autres nombres (différents des coefficients des inconnues) sont appelés unités et notés M°. Un signe de soustraction apparaît, alors que l’addition s’exprime en une juxtaposition de symboles. Pour remplacer la barre de fraction, il utilise le terme « partie de » entre deux expressions algébriques.
Voici quelques symboles retrouvés dans son ouvrage
x² ∆t
x3 Kt
x4 ∆t∆
x5 ∆K t
x6 KtK
La soustraction est notée ω.
Diophante emploie le système de numération des Grecs.
Aujourd’hui, on parle beaucoup d’équation diophantienne. Que signifie réellement cette notion ?
Equation diophantienne
Pour comprendre cette notion, partons d’un problème :
Un boulanger vend deux types de pain, celui à 12 pièces et celui à 17 pièces. Un soir, le boulanger constate qu’il a 285 pièces dans sa caisse, mais ne se souvient plus du nombre de pièces de chaque type qu’il a vendues. Est-il possible de lui dire ?
Si on considère x le nombre de pains du premier type et y le nombre de pain du deuxième type, on est en présence de l’équation :
On remarque immédiatement que x et y doivent être des nombres entiers positifs (naturels) sinon, cela n’aurait pas de sens.
Ce type de problème, d’équation est nouveau par rapport à ce qu’on peut retrouver chez les Babyloniens ou les Egyptiens. En effet, Diophante se demande si ce type d’équation admet une solution dans et si elle est unique[3].
L’équation générale correspondant à ce type de problème est
(avec a, b, c, x et y )[4]
Supposons que a = 12, b = 18 et c = 194. On constate très vite que l’équation est impossible car 12 et 18 sont tous deux multiples de 6 et 194 ne l’est pas.
Intuitivement, on établit une règle : si c n’est pas divisible par le plus grand commun diviseur de a et b alors il n’y a pas de solution entière.
Retour au problème de départ : on constate que l’équation admet une solution dans ²+ car pgcd(12,17) divise 285. La solution ici est le couple (11, 9).
Par conséquent, nous dirons que l’équation admet une solution dans si et seulement si c = k×pgcd(a, b) (avec k )
[1] Sous-entendu ensemble de méthodes permettant d’arriver au résultat.
[2] Tiré de l’article « Organisation et nature des “Arithmétiques“ », RASHED Roshdi © Encyclopædia Universalis 2006, tous droits réservés
[3] Dans l’ensemble des réels, ce type d’équation admet une infinité de solution.
[4] Il évident que Diophante ne prenait que les nombres positifs. Nous étendons cette notion aux entiers.
Makhloufi Aziz - Tous droits réservés - [email protected]